Calcolo Esempi

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 y + t$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + t$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Passaggio 3.3

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Passaggio 3.4

Poiché $t$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $t$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = 0$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = 0$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y$ a $M$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y d t + (2 y + t) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $y$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2 y + t$ per $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $2 y + t$ per $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = 1$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Passaggio 12.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Passaggio 12.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{2 y + t}{y}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Passaggio 13.3

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Passaggio 13.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Passaggio 13.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 13.5.1

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Passaggio 13.5.2

Dividi $2$ per $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Passaggio 13.6

Applica la regola costante.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Passaggio 13.7

Poiché $t$ è costante rispetto a $y$ , sposta $t$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.8

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 13.9

Semplifica.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$