Calcolo Esempi

$(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $y$ è $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + x^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 x$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 x + 2 y = 2 x + y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$3 x + 2 y = 2 x + y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x + y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x y + x^{2}$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x y + x^{2}$ a $N$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{x y + x^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x) - y}{x y + x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 x + 2 y - 2 x - y}{x y + x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$\frac{x + 2 y - y}{x y + x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $y$ da $2 y$ .

$\frac{x + y}{x y + x^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $x$ da $x y + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{x + y}{x (y) + x^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{x (y) + x \cdot x}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $x$ da $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x + y}{x (y + x)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x + y$ e $y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riordina i termini.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

Passaggio 4.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 x y + y^{2}$ per $x$ .

$(3 x y + y^{2}) x d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x y x + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x y + x^{2}$ per $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) x d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y x + x^{2} x) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sposta $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x \cdot x y + x^{2} x) d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x) d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x^{1}) d y = 0$

Passaggio 6.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2 + 1}) d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Somma $2$ e $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} x d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2} x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} x d x$

Passaggio 8.2

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} x d x$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} x d x$

Passaggio 8.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} \int x d x$

Passaggio 8.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 8.6

Semplifica.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = 1 y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 8.7.4

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.7.5

$y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.8

Riordina i termini.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x^{3}$ rispetto a $y$ è $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.5

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.7.1

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.4.7.2

Dividi $x^{2} y$ per $1$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 11.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3} - x^{3}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 0 - x^{2} y$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $x^{2} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y - x^{2} y$

Passaggio 12.1.3.3

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Passaggio 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$