Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - 3 x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = - 3 x$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = - 3 x$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = - 3 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 3 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 3 \frac{1}{x} x$

Passaggio 3.4

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 3}{x} x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 3}{x} x$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 3$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 3$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 3 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int - 3 d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{x} y = - 3 x + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = - 3 x + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- 3 x + C) x$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (- 3 x + C) x$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- 3 x + C) x$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(- 3 x + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 3 x \cdot x + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = - 3 (x \cdot x) + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = - 3 x^{2} + C x$

Passaggio 8.3.2.1.3

Riordina $- 3 x^{2}$ e $C x$ .

$y = C x - 3 x^{2}$