Calcolo Esempi

$(2 x y^{3} + y \cos (x)) d x + (3 x^{2} y^{2} + \sin (x)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + y \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y^{3} + y \cos (x)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y^{3}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $\cos (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y \cos (x)$ rispetto a $y$ è $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x)$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} + \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $6 y^{2} x + \cos (x)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{2} x + \cos (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} + \sin (x) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

Passaggio 5.2

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3 x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int \sin (x) d y$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \sin (x) y + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) + \sin (x) y + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Passaggio 8.3.1

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y^{3}$ rispetto a $x$ è $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Passaggio 8.4.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\sin (x) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y^{3} x + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 8.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1.1

Sottrai $2 y^{3} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$ .

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Passaggio 9.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $2 x y^{3}$ e $- 2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $2 y^{3} x$ da $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 0 - y \cos (x)$

Passaggio 9.1.3.3

Somma $y \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - y \cos (x)$

Passaggio 9.1.3.4

Sottrai $y \cos (x)$ da $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 10.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 10.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + y \sin (x) + C$