Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$