Calcolo Esempi

$x^{3} + 4 y \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ .

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{3}}{4 y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{4 y}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 4}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 4}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{4}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \frac{x^{3}}{4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{x^{3}}{4} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{3}}{4} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{3}}{4} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{16} x^{4} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{16}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{16} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{16}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{4}}{16}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{16} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 (8)} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 \cdot 8} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{- x^{4}}{8} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{x^{4}}{8} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + 2 K \cdot \frac{8}{8}}$

Passaggio 3.4.2

$2 K$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + \frac{2 K \cdot 8}{8}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 2 K \cdot 8}{8}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $8$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 16 K}{8}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\frac{- x^{4} + 16 K}{8}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{4} + 16 K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $- x^{4} + 16 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 16 K)}{8}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (- x^{4} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{4} + 16 K}{2}}$

Passaggio 3.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{4} + 16 K}{2}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{- x^{4} + 16 K}{2}}$ come $\frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.8

Combina.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $\sqrt{- x^{4} + 16 K}$ per $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.11.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.4.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.4.11.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 3.4.11.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.11.6

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.11.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.11.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.11.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.11.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 3.4.11.7.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.12

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{4} + 16 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{4} + 16 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.13.2

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(- x^{4} + 16 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + K)}}{4}$