Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x + y$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y = 4 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (4 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (4 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 x e^{- x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 x e^{- x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 x e^{- x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int 4 x e^{- x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = 4 \int x e^{- x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 7.4

Semplifica.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 7.5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 7.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 7.8

Riscrivi $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ come $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Passaggio 7.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $C$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.3.6.1

Riscrivi $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ come $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C}{e^{- x}}$