Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} = e^{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (e^{x} - \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = e^{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = e^{x} - \ln (| x |) + C$