Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} - 2 t y = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = - 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 2 t d t}$

Passaggio 1.2

Integra $- 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 \int t d t}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} t^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{- 1}{1} t^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$e^{- t^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- t^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- t^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- t^{2}}$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- t^{2}} (- 2 t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- t^{2}}$ per $0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 t y e^{- t^{2}} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] d t = \int 0 d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- t^{2}} y = \int 0 d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $t$ è $0$ .

$e^{- t^{2}} y = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{- t^{2}} y = C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- t^{2}}$ ciascun termine in $e^{- t^{2}} y = C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- t^{2}}$ ciascun termine in $e^{- t^{2}} y = C$ .

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- t^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$