Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} = 2 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (2 x - 3 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} - x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + K$