Calcolo Esempi

$\frac{d P}{d x} = 3 x \sqrt{x^{2} + 9}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d P = 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d P = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$P + C_{1} = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$P + C_{1} = 3 \int x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x^{2} + 9$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x^{2} + 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$P + C_{1} = 3 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$P + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$P + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$P + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 2.3.7.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$P + C_{1} = 1 u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.5

Moltiplica $u^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$P + C_{1} = u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$P + C_{1} = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$P = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + K$