Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 7}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $(x + 7) y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x + 7$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x + 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 7$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $3 \ln (| x + 7 |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$