Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{y^{2} + y x}{x^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V^{2} + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $V^{2}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sposta $V^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- 2}$ rispetto a $V$ è $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi $- V^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$V, 1, 1$

Passaggio 6.3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$V$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica per $V$ ciascun termine in $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ per $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{V}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Riordina i fattori in $\ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

Passaggio 6.3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

Passaggio 6.3.3.2

Scomponi $V$ da $V \ln (| x |) + C V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $V$ da $C V$ .

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

Passaggio 6.3.3.2.2

Scomponi $V$ da $V \ln (| x |) + V C$ .

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

Passaggio 6.3.3.3

Dividi per $\ln (| x |) + C$ ciascun termine in $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Dividi per $\ln (| x |) + C$ ciascun termine in $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ .

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| x |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.3.3.3.2.1.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

$x$ e $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$