Calcolo Esempi

$\frac{x y}{x + 1} = \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Inverti i lati per ottenere $\frac{d y}{d x}$ sul lato sinistro.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $y$ da $\frac{x}{x + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi $x$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 2.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 2.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 2.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\ln (| y x + y |) = x + C$

Passaggio 3.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\ln (| y x + y |) = x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y x + y |$

Passaggio 3.8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.8.1

Riscrivi l'equazione come $| y x + y | = e^{x + C}$ .

$| y x + y | = e^{x + C}$

Passaggio 3.8.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm e^{x + C}$

Passaggio 3.8.3

Scomponi $y$ da $y x + y$ .

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Passaggio 3.8.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Passaggio 3.8.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Passaggio 3.8.3.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

Passaggio 3.8.3.4

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

Passaggio 3.8.4

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ e semplifica.

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Passaggio 3.8.4.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Passaggio 3.8.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.8.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 3.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Passaggio 3.8.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$