Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{5 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{5})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{5}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{5}{x}$ e $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

Passaggio 3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ come $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{5}$ ciascun termine in $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x^{5}$ ciascun termine in $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x^{5}$ da $\frac{1}{2} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{2} x$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$