Calcolo Esempi

$(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y + x + 2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x + 2 y + 1]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + x + 2 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + 0$

Passaggio 1.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 + 0$

Passaggio 1.7.2

Somma $x + 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x + 2 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x + 2 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $x + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 - 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x + 1$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x + 1$ a $N$ .

$\frac{x + 2 - 1}{x + 1}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x y + x + 2 y + 1$ per $e^{x}$ .

$(x y + x + 2 y + 1) e^{x} d x + (x + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + 1 e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x + 1$ per $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) e^{x} d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + 1 e^{x}) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + e^{x}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + e^{x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x e^{x} + e^{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(x e^{x} + e^{x}) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.3.8

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x e^{x}) + y (2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$y x e^{x} + 2 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 11.5.4

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x y e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $2 y e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $x y e^{x}$ da $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} + 0 - 2 y e^{x}$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - 2 y e^{x}$

Passaggio 12.1.3.3

Sottrai $2 y e^{x}$ da $2 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 0 + e^{x}$

Passaggio 12.1.3.4

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $x e^{x} + e^{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Passaggio 13.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Passaggio 13.5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

Passaggio 13.6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

Passaggio 13.7

Semplifica.

$g (x) = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

Passaggio 13.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1

Somma $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} + 0 + C$

Passaggio 13.8.2

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$g (x) = x e^{x} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y e^{x} + x e^{x} + C$