Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $x y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

Passaggio 1.1.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $y$ da $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{y^{2} + 1}{y}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y^{2} + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica $\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| x + 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

Passaggio 3.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

Passaggio 3.4.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

Passaggio 3.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica ogni lato per ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 3.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.7.4.1.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 3.7.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 3.7.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.7.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 3.7.4.1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 3.7.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

Passaggio 3.7.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

Passaggio 3.7.4.1.5.2

Moltiplica $e^{2 C}$ per $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.1.6

Riordina i fattori in $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

Passaggio 3.7.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Passaggio 3.7.4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$