Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $e^{- y}$ da $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Passaggio 3.3

Espandi $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.4

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$