Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

Passaggio 1.2

Riordina $x$ e $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{2}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (t)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (t^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$t^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{t}$ e $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

Passaggio 3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ come $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Passaggio 7.3.2

$4$ e $\frac{1}{3}$ .

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

Passaggio 8

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $t^{3}$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $t^{2}$ da $\frac{4}{3} t^{3}$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{4}{3} t$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{4}{3}$ e $t$ .

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$