Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{\sqrt{9 + x^{3}}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{2 x^{2}}{\sqrt{9 + x^{3}}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{9 + x^{3}}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{9 + x^{3}}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9 + x^{3}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 9 + x^{3}$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 9 + x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $9 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 2.3.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.5.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{2}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{2}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} {(9 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{4}{3} {(9 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$