Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{e^{x} - y}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{- y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.3

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x}$ nel numeratore.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.4.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x y = \int e^{x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = e^{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = e^{x} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$