Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y (8 x^{2} + 2)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (8 x^{2} + 2))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (8 x^{2} + 2))$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{2} + 2$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{2} + 2) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{2} + 2 d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{2} + 2 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 2 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = \frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{8}{3} x^{3} + 2 x + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{8}{3}$ e $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + C}$ come $e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x}$