Calcolo Esempi

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

$v$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Passaggio 2.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Sia $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2} d v$ , quindi $- 2 d u = d v$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sia $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $13.6 - \frac{v}{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Poiché $13.6$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $13.6$ rispetto a $v$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- \frac{v}{2}$ rispetto a $v$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Passaggio 2.2.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.2.3.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.3.1.4

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4.6

$- 2$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.7.2

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.7.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.7.4

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.4.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.7.4.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.11

Riordina i termini.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ per $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Passaggio 3.1.2.2

$v$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $13.6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{v}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.2.2

Moltiplica $v$ per $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Passaggio 3.4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Semplifica $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Passaggio 3.4.5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Passaggio 3.4.6

Riordina $- \frac{t}{3}$ e $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Passaggio 4.3

Riscrivi $e^{- \frac{t}{3} + C}$ come $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{- \frac{t}{3}}$ e $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Passaggio 4.5

Combina costanti con il più o il meno.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$