Calcolo Esempi

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(2 x + Y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $2 Y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Passaggio 3.4.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Passaggio 3.4.3

$\frac{- 2}{2 Y + x}$ e $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Passaggio 3.5

$Y$ e $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Passaggio 3.10

Riscrivi $- (2 x + Y)$ come $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Passaggio 4.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u = 2 Y + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u = 2 Y + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 Y + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Poiché $2 Y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 Y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Passaggio 4.3.3

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Passaggio 4.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.6

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.8

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.9

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.12

Poiché $2 Y$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2 Y$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Passaggio 4.3.15

Poiché $Y$ è costante rispetto a $u$ , sposta $Y$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.16

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Passaggio 4.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.17.1

Semplifica.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.17.2

Somma $- 4 Y \ln (| u |)$ e $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.18

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.19.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.19.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.19.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.19.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.19.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.19.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Passaggio 4.3.19.3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Passaggio 4.3.20

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$