Calcolo Esempi

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Passaggio 1.2

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y x^{2}$ rispetto a $y$ è $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} - 2 y^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 2 y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y^{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 x^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 3 x^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $3 x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3 y x^{2}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3 y x^{2}$ a $M$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $3$ da $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 6}{3 y}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Passaggio 4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci $3 y x^{2}$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 y x^{2}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $3 y x^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.3

$3$ e $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.4

$x^{2}$ e $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- x^{3} - 2 y^{4}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- x^{3} - 2 y^{4}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.11

Riscrivi $- (x^{3} + 2 y^{4})$ come $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{3}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{3}{y}$ per $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $3$ per $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.5

$\frac{1}{y}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{y}$ rispetto a $y$ è $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.2

$x^{3}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Somma $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Somma $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Somma $0$ e $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2.4

Dividi $2 y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $2 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 2 y^{2}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$y^{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Passaggio 15.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$