Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1.1

$\frac{1}{7}$ e $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.1.2

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $24$ in $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ .

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ .

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Passaggio 4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$12 + K = 24$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 24 - 12$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $12$ da $24$ .

$K = 12$

Passaggio 5

Sostituisci $12$ a $K$ in $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $12$ a $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$