Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $5$ in $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Passaggio 4.2

Semplifica $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Passaggio 4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $1$ e $4$ .

$5 + K = 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 5 - 5$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$K = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $0$ a $K$ in $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Passaggio 5.2

Somma $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$