Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Passaggio 1.2.2

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y$ da $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Passaggio 1.2.4

$2$ e $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x + 7$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x + 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| x + 7 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 7 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 7)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Riscrivi ${(x + 7)}^{2}$ come $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Passaggio 3.5.4.1.2

Espandi $(x + 7) (x + 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Passaggio 3.5.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Passaggio 3.5.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Passaggio 3.5.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Passaggio 3.5.4.1.3.1.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Passaggio 3.5.4.1.3.1.3

Moltiplica $7$ per $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Passaggio 3.5.4.1.3.2

Somma $7 x$ e $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Passaggio 3.5.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Passaggio 3.5.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Passaggio 3.5.4.1.5.2

Sposta $49$ alla sinistra di $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Passaggio 3.5.4.1.6

Riordina i fattori in $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$