Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2 x + 1}{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.4

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x + \ln (x)}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{2 x + 1}{x}$ e $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.2.2

$e^{2 x + \ln (x)}$ e $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.3

Per scrivere $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $e^{2 x + \ln (x)}$ da $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Scomponi $e^{2 x + \ln (x)}$ da $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $e^{2 x + \ln (x)}$ da $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $e^{2 x + \ln (x)}$ da $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $e^{2 x + \ln (x)}$ per $e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Passaggio 2.6.2

Combina i termini opposti in $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

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Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $0$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Passaggio 2.8

Riordina i fattori in $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{2 x + \ln (x)}$ ciascun termine in $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{2 x + \ln (x)}$ ciascun termine in $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x + \ln (x)}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Passaggio 7.3.1.3

Combina.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$