Calcolo Esempi

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

Passaggio 1

Somma $(x + 1) (y + 1) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{y + 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y + 1$ da $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y + 1$ da $(x + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $x + 1$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Dividi $y$ per $y + 1$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Passaggio 4.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 4.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.5

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 4.2.5.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.7

Semplifica.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8

Riordina i termini.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$