Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $e^{y}$ da ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Passaggio 1.2.3

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Passaggio 1.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Passaggio 1.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.2.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 1.2.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.3

Riordina i termini.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $e^{- y}$ per $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 x^{2})$ come $- (2 x^{2})$ .

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Riscrivi $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ come $- (\frac{1}{3} x^{3})$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.7

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.8

Riscrivi $- 1 \cdot (4 x)$ come $- (4 x)$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.9

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.10

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Passaggio 3.1.3.1.11

Riscrivi $- 1 \cdot K$ come $- K$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{- y})$ spostando $- y$ fuori dal logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Passaggio 3.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ come $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $0$ in $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ .

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Passaggio 6.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ per $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.3

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.4

$- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.6.2

Sottrai $1$ da $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.8

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.9

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.11.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.11.2

Sottrai $12$ da $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Passaggio 6.3

Per risolvere per $K$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Passaggio 6.5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ .

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Passaggio 6.5.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Passaggio 6.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Somma $\frac{19}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Passaggio 6.5.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Passaggio 6.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Passaggio 6.5.3.4

Somma $3$ e $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{22}{3}$ a $K$ in $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{22}{3}$ a $K$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$