Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(2 + y)}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(2 + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $- u^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 + y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$2 + y, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 + y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 + y$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ per $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 + y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = x (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = x \cdot 2 + x y + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 = 2 \cdot x + x y + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = 2 x + x y + K \cdot 2 + K y$

Passaggio 3.2.3.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$- 1 = 2 x + x y + 2 K + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 x + x y + 2 K + K y = - 1$ .

$2 x + x y + 2 K + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y + 2 K + K y = - 1 - 2 x$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $2 K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $x y + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y x + y K = - 1 - 2 x - 2 K$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $y$ da $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$

Passaggio 3.3.4

Dividi per $x + K$ ciascun termine in $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Dividi per $x + K$ ciascun termine in $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 - 2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 - 2 x - 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 x - 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 x) - 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - 2 K}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (2 K)}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 + 2 x) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x + 2 K)}{x + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 + 2 x + 2 K}{x + K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 + 2 x + K}{x + K}$