Calcolo Esempi

$(3 x^{2} + y) d x + (x + 4) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = 1$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$1 = 1$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + y d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} + y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int y d x$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int y d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y d x$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y x + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + y x + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = x^{3} + y x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + y x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + y x + g (y)] = x + 4$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 4$

Passaggio 8.2.2

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{3}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 4$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 4$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 4$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 4$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 4$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $x$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + 4$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x = x + 4$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x + 4 - x$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $x + 4 - x$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 4$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{d g}{d y} = 4$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $4$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 4$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = 4 y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = x^{3} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + y x + 4 y + C$