Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $y$ da $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = t^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = t^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica $e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Usa il teorema binomiale.

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

Passaggio 3.5.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Passaggio 3.5.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Passaggio 3.5.4.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Passaggio 3.5.4.1.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

Passaggio 3.5.4.1.3.4

Moltiplica $e^{C}$ per $1$ .

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

Passaggio 3.5.4.1.4

Riordina i fattori in $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ .

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$