Calcolo Esempi

$6 x - 10 y \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 10 y \frac{d y}{d x} = - 6 x$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 10 y$ ciascun termine in $- 10 y \frac{d y}{d x} = - 6 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 10 y$ ciascun termine in $- 10 y \frac{d y}{d x} = - 6 x$ .

$\frac{- 10 y \frac{d y}{d x}}{- 10 y} = \frac{- 6 x}{- 10 y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10 y \frac{d y}{d x}}{- 10 y} = \frac{- 6 x}{- 10 y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 6 x}{- 10 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 6 x}{- 10 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x}{- 10 y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 10 y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 10 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (5 y)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (5 y)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{5 y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x}{5 y}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $y$ da $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x}{y \cdot 5}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x}{y \cdot 5}$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{5}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{3 x}{5} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{3 x}{5} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x}{5} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{3}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{3}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{5 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{10} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{10} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{3}{10} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{10} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{10} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{3}{10} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{3}{10} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{3}{10}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{3 x^{2}}{10} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{3 x^{2}}{10} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$y^{2} = 2 \frac{3 x^{2}}{2 (5)} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{3 x^{2}}{2 \cdot 5} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{3 x^{2}}{5} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{2}}{5} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3 x^{2}}{5} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{2}}{5} + 2 K \cdot \frac{5}{5}}$

Passaggio 3.4.2

$2 K$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{2}}{5} + \frac{2 K \cdot 5}{5}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{2} + 2 K \cdot 5}{5}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{2} + 10 K}{5}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{3 x^{2} + 10 K}{5}}$ come $\frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 3.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 3.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{2} + 10 K} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 3.4.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(3 x^{2} + 10 K) \cdot 5}}{5}$

Passaggio 3.4.9

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(3 x^{2} + 10 K) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + 10 K)}}{5}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (3 x^{2} + K)}}{5}$