Calcolo Esempi

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x - 2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2 y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x - 3)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 = - 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 = - 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 + 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- (x - 3)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- (x - 3)$ a $N$ .

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

Passaggio 4.3.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{1}{x - 3}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 5.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | u | + C$

Passaggio 5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ per il fattore di integrazione $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x - 2 y - 1$ per $x - 3$ .

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.2

Espandi $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- (x - 3)$ per $x - 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

Passaggio 6.8

Espandi $(- x + 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

Passaggio 6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

Passaggio 6.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Passaggio 6.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1.1.1

Sposta $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Passaggio 6.9.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Passaggio 6.9.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Passaggio 6.9.1.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

Passaggio 6.9.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ .

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 6 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.7

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $6$ per $1$ .

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.3.10

Somma $- 2 x + 6$ e $0$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.5.2

Sposta $6$ alla sinistra di $y$ .

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $- 2 y x$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

Passaggio 12.1.3.3

Somma $x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

Passaggio 12.1.3.4

Sottrai $6 y$ da $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

Passaggio 12.1.3.5

Somma $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $x^{2} - 4 x + 3$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Passaggio 13.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Passaggio 13.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Passaggio 13.7

Applica la regola costante.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Passaggio 13.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Passaggio 13.9

Semplifica.

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Passaggio 13.10

Riordina i termini.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Passaggio 15.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$