Calcolo Esempi

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) d x - (x y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 4 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $4 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $4 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$4 y = - y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$4 y = - y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y - - y}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- (x y)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- (x y)$ a $N$ .

$\frac{4 y - - y}{- (x y)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $4 y - - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 - - y}{- x y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- - y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (- - 1)}{- x y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 4 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (4 - - 1)}{- x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y (4 + 1)}{- x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{- x}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 5 \ln (| x |)$ spostando $- 5$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(4 x^{2} + 2 y^{2}) d x - (x y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $4 x^{2} + 2 y^{2}$ per $\frac{1}{x^{5}}$ .

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $4 x^{2} + 2 y^{2}$ per $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $2$ da $4 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $2$ da $2 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- (x y)$ per $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (x y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $x$ da $- (x y)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- (y)) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Passaggio 6.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - (y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 6.6

$\frac{1}{x^{4}}$ e $y$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y}{x^{4}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - \frac{y}{x^{4}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Passaggio 8.2

Poiché $\frac{1}{x^{4}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{4}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{4}} \int y d y)$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Passaggio 8.5.2.2

$y^{2}$ e $\frac{1}{2 x^{4}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- \frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4 \frac{y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.9

$4$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.10

$\frac{4 y^{2}}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.11

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.12

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.1

Scomponi $2$ da $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5}$ .

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Sottrai $2 y^{2}$ da $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{4}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{4}{x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{4}{x^{3}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 13.4

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$g (x) = 4 \int x^{- 3} d x$

Passaggio 13.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Passaggio 13.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 13.7.1.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Passaggio 13.7.2

Semplifica.

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Passaggio 13.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$g (x) = - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 13.7.3.2

$- 4$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$g (x) = \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 13.7.3.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.3.3.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 13.7.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Passaggio 13.7.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 13.7.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Passaggio 13.7.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = - \frac{2}{x^{2}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + C$