Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.2.2

$4$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{3}$ da $y^{3} \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.4.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 2.3.7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 2.3.8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 2.3.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 2.3.10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 y^{2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 y^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ per $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ .

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2 y^{2}$ da $4 x y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.4

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.5

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ ciascun termine in $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ ciascun termine in $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x + \sin (2 x) + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Passaggio 3.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.