Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 1 - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Passaggio 3.2

Sottrai $\ln (| 1 - x |)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $\ln (| 1 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

Passaggio 3.3.3.1.4

Dividi $\ln (| 1 - x |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

Passaggio 3.5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

Passaggio 3.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

Passaggio 3.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica ogni lato per $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Elimina il fattore comune di $| 1 - x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Passaggio 3.8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

Passaggio 3.8.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Riordina i fattori in $e^{- C} | 1 - x |$ .

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

Passaggio 3.8.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

Passaggio 3.8.4.3

Riordina i fattori in $\pm | 1 - x | e^{- C}$ .

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

Passaggio 3.8.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

Passaggio 3.8.4.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.8.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.8.4.5.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ come $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$