Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$8$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ .

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Passaggio 4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Somma $2$ e $4$ .

$6 + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 - 6$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$K = - 4$

Passaggio 5

Sostituisci $- 4$ a $K$ in $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 4$ a $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$