Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 8 + 2 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (8 + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 8 d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.2

$- 3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 2.3.7.2.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.7.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.4

Dividi $- x^{3}$ per $1$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + 8 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + K$