Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2$ da $2 y + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ per $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ per $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ come $2 (y + 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (y + 10)}$ come ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.4.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.5

$7$ e $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Passaggio 1.2.6

Scomponi $2$ da $2 y + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

Passaggio 1.2.6.2

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

Passaggio 1.2.6.3

Scomponi $2$ da $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

$x$ e $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.7.2

$\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ e $\sqrt{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.7.3

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.7.4

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.7.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Riscrivi ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ come $2 (y + 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (y + 10)}$ come ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.1.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.4

Scomponi $2$ da $2 y + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.4.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.4.2

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.4.3

Scomponi $2$ da $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.8.5

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.9

Elimina il fattore comune di $14$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Scomponi $2$ da $x \cdot 14 (y + 10)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Passaggio 1.2.9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Passaggio 1.2.10

Elimina il fattore comune di $y + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Passaggio 1.2.10.2

Dividi $x \cdot 7$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

Passaggio 1.2.11

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 y + 20$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 y + 20$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 y + 20$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 20$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $20$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.6.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 20$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Semplifica.

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{7}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Riscrivi ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ come $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ .

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Espandi $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Combina.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Moltiplica $7$ per $7$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.5

$\frac{7 x^{2}}{2}$ e $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.6

$K$ e $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.7

Sposta $7$ alla sinistra di $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.8

Moltiplica $K$ per $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Somma $\frac{7 x^{2} K}{2}$ e $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Somma $\frac{7 K x^{2}}{2}$ e $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.1.2

Combina.

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.1.3

Moltiplica $49$ per $1$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Passaggio 3.3.2.3.1.5

Dividi $- 20$ per $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $5$ in $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ .

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ .

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Passaggio 6.2

Semplifica $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ .

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $49$ per $0$ .

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $0$ per $8$ .

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Passaggio 6.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $K$ per $0$ .

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

Passaggio 6.2.1.6

Dividi $0$ per $2$ .

$0 + 0 + K = 5$

Passaggio 6.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = 5$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 5$

Passaggio 7

Sostituisci $5$ a $K$ in $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $5$ a $K$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$