Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x + 3 y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{4 x + 3 y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{4 x + 3 y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{4 x + 3 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x + 3 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} \frac{d}{d x} [4 x + 3 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 + 3 y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{4 x + 3 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (4 + 3 y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} - \frac{4}{3} = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $\frac{4}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v + \frac{4}{3}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v) = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Semplifica $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 v$ .

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica $(v + \frac{4}{3}) (3 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} = v (3 v) + \frac{4}{3} (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{4}{3} (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{4}{3} (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + 4 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.4

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.4.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 (v \cdot v) + 4 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.4.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v^{2} + 4 v$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 4 v} (3 v^{2} + 4 v)$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $3 v^{2} + 4 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 4 v} (3 v^{2} + 4 v)$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} d v = 1 d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 v^{2} + 4 v} d v = \int d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $v$ da $3 v^{2} + 4 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Scomponi $v$ da $3 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (3 v) + 4 v}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Scomponi $v$ da $4 v$ .

$\frac{1}{v (3 v) + v \cdot 4}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Scomponi $v$ da $v (3 v) + v \cdot 4$ .

$\frac{1}{v (3 v + 4)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (3 v + 4)$ .

$\frac{1 (v (3 v + 4))}{v (3 v + 4)} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (3 v + 4))}{v (3 v + 4)} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (3 v + 4)}{3 v + 4} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $3 v + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (3 v + 4)}{3 v + 4} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (3 v + 4)$ per $1$ .

$1 = A (3 v + 4) + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (3 v) + A \cdot 4 + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.6.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 3 A v + A \cdot 4 + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.6.4

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 3 A v + 4 A + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.1.6.5

Dividi $B v$ per $1$ .

$1 = 3 A v + 4 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = 3 v A + 4 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7.2

Riordina $B$ e $v$ .

$1 = 3 v A + 4 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7.3

Sposta $4 A$ .

$1 = 3 v A + B v + 4 A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 3 A + B$

$1 = 4 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 4 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 3 A + B$ con $\frac{1}{4}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{3}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{3}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{3}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{3}{4} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{4} + B = 0$ .

$\frac{3}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Sottrai $\frac{3}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{3}{4} A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{- \frac{3}{4}}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{3}{4}}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{- \frac{3}{4}}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4 v} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3 v + 4}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{3 v + 4}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4 v} - \frac{3}{(3 v + 4) \cdot 4}$

Passaggio 6.2.1.5.5

Sposta $4$ alla sinistra di $3 v + 4$ .

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.6

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{3}{4} \int \frac{1}{3 v + 4} d v) = \int d x$

Passaggio 6.2.7

Sia $u_{2} = 3 v + 4$ . Allora $d u_{2} = 3 d v$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Sia $u_{2} = 3 v + 4$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.1

Differenzia $3 v + 4$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 4]$

Passaggio 6.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 v + 4$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [4]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [4]$

Passaggio 6.2.7.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $3 v$ rispetto a $v$ è $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [4]$

Passaggio 6.2.7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [4]$

Passaggio 6.2.7.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [4]$

Passaggio 6.2.7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $4$ rispetto a $v$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 6.2.7.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 6.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.8.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Passaggio 6.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.3.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Passaggio 6.2.12

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Passaggio 7.1.1.2

$\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$ per $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ nel numeratore.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot x + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 x + 4 C$

Passaggio 7.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 x + 4 C$

Passaggio 7.4

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 x + 4 C}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 x + 4 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 x + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 x + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 x + 4 C}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 x + 4 C}$

Passaggio 7.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 x + 4 C}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 x + C}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{4 x + C}$ come $e^{4 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 x} e^{C})$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{4 x}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 x})$

Passaggio 8.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{4 x}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{4 x + 3 y}$ .

$e^{4 x + 3 y} = C | u_{2} | e^{4 x}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{4 x + 3 y}) = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{4 x + 3 y})$ spostando $4 x + 3 y$ fuori dal logaritmo.

$(4 x + 3 y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(4 x + 3 y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $4 x + 3 y$ per $1$ .

$4 x + 3 y = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi $\ln (C | u_{2} | e^{4 x})$ come $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$ .

$4 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |)$ come $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$

Passaggio 10.3.3

Espandi $\ln (e^{4 x})$ spostando $4 x$ fuori dal logaritmo.

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x \ln (e)$

Passaggio 10.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x \cdot 1$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x$

Passaggio 10.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$4 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 4 x$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 4 x - 4 x$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $\ln (C | u_{2} |) + 4 x - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |)$

Passaggio 10.6

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 10.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 10.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$