Calcolo Esempi

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $e^{5 x} y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{5 x}$ e $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Passaggio 1.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Passaggio 1.7

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Passaggio 1.8

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Passaggio 1.9

Rimuovi le parentesi.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Passaggio 1.10

Riordina $y$ e $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Sia $u = 8 x$ . Allora $d u = 8 d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1.1

Sia $u = 8 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Differenzia $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 5.1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Passaggio 5.1.1.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Passaggio 5.2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Passaggio 5.3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Semplifica.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Passaggio 5.5.2

$\frac{1}{8}$ e $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Passaggio 5.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Passaggio 5.7

Riordina i termini.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Passaggio 6

Dividi per $e^{5 x}$ ciascun termine in $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $e^{5 x}$ ciascun termine in $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 x}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

$\cos (8 x)$ e $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{e^{5 x}}$ per $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Passaggio 6.3.1.4

Sposta $8$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$