Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.2

Combina.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $\sqrt{y}$ da $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $\cos^{2} (\sqrt{y})$ da $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Passaggio 1.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ a $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $\sqrt{y}$ per $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.5

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ e $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.2.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.3

Sia $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sia $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.3.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Moltiplica $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{x}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $u$ a $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3

Riordina $\frac{x}{8}$ e $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Passaggio 3.4

Trova il valore dell'incognita $u$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Passaggio 3.5

Sostituisci $y^{\frac{1}{2}}$ a $u$ e risolvi $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

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Passaggio 3.5.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$