Calcolo Esempi

$(\sec (x)) \frac{d y}{d x} = e^{y + \sin (x)}$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Sia $v = e^{y + \sin (x)}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{y + \sin (x)}$ con $v$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{y + \sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y + \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y + \sin (x)$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + \sin (x)$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} (y' + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} (y' + \cos (x))$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{y + \sin (x)}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (y' + \cos (x))$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\sec (x) \frac{d v}{d x}}{v} - 1 = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Riordina i fattori in $\frac{\sec (x) \frac{d v}{d x}}{v} - 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} - 1 = v$

Passaggio 5.1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} = v + 1$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} v = (v + 1) v$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} v = (v + 1) v$

Passaggio 5.1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = (v + 1) v$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica $(v + 1) v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v \cdot v + 1 v$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + 1 v$

Passaggio 5.1.4.2.1.2.2

Moltiplica $v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + v$

Passaggio 5.1.5

Dividi per $\sec (x)$ ciascun termine in $\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + v$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Dividi per $\sec (x)$ ciascun termine in $\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{v^{2}}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{v^{2}}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.2.1.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1.1

Frazioni separate.

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3.1.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} (1 \cos (x)) + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3.1.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} \cos (x) + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3.1.5

Dividi $v^{2}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3.1.6

Frazioni separate.

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 5.1.5.3.1.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 5.1.5.3.1.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} (1 \cos (x))$

Passaggio 5.1.5.3.1.9

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} \cos (x)$

Passaggio 5.1.5.3.1.10

Dividi $v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + v \cos (x)$

Passaggio 5.2

Scomponi $v \cos (x)$ da $v^{2} \cos (x) + v \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $v \cos (x)$ da $v^{2} \cos (x)$ .

$\frac{d v}{d x} = v \cos (x) (v) + v \cos (x)$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $v \cos (x)$ da $v \cos (x)$ .

$\frac{d v}{d x} = v \cos (x) (v) + v \cos (x) (1)$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $v \cos (x)$ da $v \cos (x) (v) + v \cos (x) (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = v \cos (x) (v + 1)$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v (v + 1)}$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (v \cos (x) (v + 1))$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $v (v + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $v (v + 1)$ da $v \cos (x) (v + 1)$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (v (v + 1) (\cos (x)))$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (v (v + 1) \cos (x))$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 5.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v (v + 1)} d v = \cos (x) d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v (v + 1)} d v = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.1.2

Dividi $A (v + 1)$ per $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.4.2

Dividi $B v$ per $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2.5

Sia $u_{2} = v + 1$ . Allora $d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sia $u_{2} = v + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Differenzia $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 6.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 6.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 6.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.2.7

Semplifica.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 6.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \sin (x) + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = \sin (x) + C$

Passaggio 7.2

Riordina $\sin (x)$ e $C$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + \sin (x)$

Passaggio 7.3

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + \sin (x)}$

Passaggio 7.4

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + \sin (x)$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + \sin (x)} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.5

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + \sin (x)}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + \sin (x)}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$

Passaggio 7.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$

Passaggio 7.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$

Passaggio 7.5.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{C + \sin (x)}$

Passaggio 7.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{C + \sin (x)}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$v = \pm | u_{2} | e^{\sin (x) + C}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{\sin (x) + C}$ come $e^{\sin (x)} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{\sin (x)} e^{C})$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{\sin (x)}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{\sin (x)})$

Passaggio 8.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{\sin (x)}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{y + \sin (x)}$ .

$e^{y + \sin (x)} = C | u_{2} | e^{\sin (x)}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y + \sin (x)}) = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{y + \sin (x)})$ spostando $y + \sin (x)$ fuori dal logaritmo.

$(y + \sin (x)) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y + \sin (x)) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $y + \sin (x)$ per $1$ .

$y + \sin (x) = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi $\ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$ come $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{\sin (x)})$ .

$y + \sin (x) = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{\sin (x)})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |)$ come $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{\sin (x)})$

Passaggio 10.3.3

Espandi $\ln (e^{\sin (x)})$ spostando $\sin (x)$ fuori dal logaritmo.

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \sin (x) \ln (e)$

Passaggio 10.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \sin (x) \cdot 1$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \sin (x)$

Passaggio 10.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$y + \sin (x) = \ln (C | u_{2} |) + \sin (x)$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sottrai $\sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (C | u_{2} |) + \sin (x) - \sin (x)$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $\ln (C | u_{2} |) + \sin (x) - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $\sin (x)$ da $\sin (x)$ .

$y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$y = \ln (C | u_{2} |)$

Passaggio 11

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = \ln (C | u_{2} |)$ .

$0 = \ln (C | u_{2} |)$

Passaggio 12

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (C | u_{2} |) = 0$ .

$\ln (C | u_{2} |) = 0$

Passaggio 12.2

Per risolvere per $C$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (C | u_{2} |)} = e^{0}$

Passaggio 12.3

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{2} |$

Passaggio 12.4

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Riscrivi l'equazione come $C | u_{2} | = e^{0}$ .

$C | u_{2} | = e^{0}$

Passaggio 12.4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C | u_{2} | = 1$

Passaggio 12.4.3

Dividi per $| u_{2} |$ ciascun termine in $C | u_{2} | = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.1

Dividi per $| u_{2} |$ ciascun termine in $C | u_{2} | = 1$ .

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Passaggio 12.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Passaggio 12.4.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{2} |}$

Passaggio 13

Sostituisci $\frac{1}{| u_{2} |}$ a $C$ in $y = \ln (C | u_{2} |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci $\frac{1}{| u_{2} |}$ a $C$ .

$y = \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \ln (1)$

Passaggio 13.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$y = 0$