Calcolo Esempi

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $8 x y^{3} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.2

$12$ e $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{2} y^{2}$ da $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.5

$- 8$ e $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x y^{3}$ da $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $y$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $12 \ln (| y |)$ spostando $12$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{12}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica $8 \ln (| x |)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.4

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{8}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $x^{8}$ ciascun termine in $y^{12} x^{8} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $x^{8}$ ciascun termine in $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $y^{12}$ per $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ come $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Riscrivi $x^{8}$ come ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Passaggio 5.5.4.2.2

Riscrivi $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ come $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Passaggio 5.5.4.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 5.5.4.3

Moltiplica $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.4.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ come $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.3

$\frac{2}{3}$ e $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.5.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.5.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Passaggio 5.5.4.4.5.5.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.3

Metti in evidenza $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.5.1

Riscrivi l'espressone usando l'indice minimo comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.5.1.2

Riscrivi $x^{\frac{1}{3}}$ come $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.5.1.3

Riscrivi $x^{\frac{4}{12}}$ come $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.5.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.1.1

Scomponi $x$ da $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Passaggio 5.5.4.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Passaggio 5.5.4.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Passaggio 5.5.4.6.2

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.