Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y^{2})}{(1 + x^{2})}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Passaggio 3.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Passaggio 3.3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'equazione come $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Passaggio 3.5

Trova il valore dell'incognita $\arctan (y)$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Passaggio 3.6

Somma $K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Passaggio 3.7

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Passaggio 3.8

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Passaggio 3.9

Trova il valore dell'incognita $\arctan (y)$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Passaggio 3.10

Somma $K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Passaggio 3.11

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$