Calcolo Esempi

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x^{2} + y^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + y^{2} + 4]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + y^{2} + 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 1.3

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 1.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Passaggio 1.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (x - 2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - 2 y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - 2 y] + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $x - 2 y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - 2 y$

Passaggio 2.3.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x - 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 2 x - 2 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = 2 x - 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x - 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x (x - 2 y)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x (x - 2 y)$ a $N$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $2 y$ e $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $2$ da $- 2 x + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $2$ da $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $- x + 2 y$ e $x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.3.4

Riscrivi $- (x - 2 y)$ come $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.3.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Passaggio 4.3.3.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 x^{2} + y^{2} + 4$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) \frac{1}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3 x^{2} + y^{2} + 4$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x (x - 2 y)$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + (x - 2 y) \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x - 2 y$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

Passaggio 8.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Passaggio 8.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Passaggio 8.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Passaggio 8.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

Passaggio 8.6

Poiché $\frac{2}{x}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{2}{x}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Passaggio 8.7

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

Passaggio 8.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.9

Semplifica.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.10.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.10.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Passaggio 8.10.3

$y^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{y^{2}}{x}$ rispetto a $x$ è $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.2.2

Somma $0$ e $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2} + y^{2} + 4)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2}) - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} + 0 - 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Per scrivere $\frac{d g}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 12.1.3

Risolvi l'equazione per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 4 = 3 x^{2}$

Passaggio 12.1.3.1.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$

Passaggio 12.1.3.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.2.1.2

Dividi $\frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.3.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $3 + \frac{4}{x^{2}}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int 3 d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.4

Applica la regola costante.

$g (x) = 3 x + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.6

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.7

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 13.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 13.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 13.9

Semplifica.

$g (x) = 3 x + 4 (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 13.10

Semplifica.

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Passaggio 13.10.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$g (x) = 3 x - 4 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 13.10.2

$- 4$ e $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = 3 x + \frac{- 4}{x} + C$

Passaggio 13.10.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = 3 x - \frac{4}{x} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + 3 x - \frac{4}{x} + C$