Calcolo Esempi

$(1 + x^{2}) d y + (1 + y^{2}) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + y^{2}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ nel numeratore.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $1 + y^{2}$ da $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Passaggio 5.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi $\arctan (x)$ per $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \arctan (y)$ come $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Dividi $K$ per $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Passaggio 5.4

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Passaggio 5.5

Riscrivi l'equazione come $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Passaggio 5.6

Trova il valore dell'incognita $\arctan (y)$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Passaggio 5.7

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Passaggio 5.8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.8.2.2

Dividi $\arctan (y)$ per $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.8.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \arctan (x)$ come $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.8.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Passaggio 5.8.3.1.4

Dividi $K$ per $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Passaggio 5.9

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Passaggio 5.10

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Passaggio 5.11

Trova il valore dell'incognita $\arctan (y)$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Passaggio 5.12

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Passaggio 5.13

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.13.2.2

Dividi $\arctan (y)$ per $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.13.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \arctan (x)$ come $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 5.13.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Passaggio 5.13.3.1.4

Dividi $K$ per $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Passaggio 5.14

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$